¿Qué tan probable es que Bruce Banner se convierta en Hulk? (en Marvel Snap)

Me gusta mucho jugar Marvel Snap, un juego de cartas para móviles. Una de las cartas que serán incluidas en el juego en las semanas siguientes me recordó un pequeño problema de probabilidad relativamente común.

Esta carta es Bruce Banner, que tiene una habilidad muy simpática, que representa muy bien al personaje de los cómics. Al final de cada turno, si tienes energía sin usar, hay una probabilidad de 25% que Bruce Banner se transforme en Hulk. Es decir, tienes una probabilidad de que tu carta de bajo costo y poder, se convierta en una de mucho más poder.

Pero, ¿qué tan probable es que lo anterior ocurra a lo largo de una partida?

En Marvel Snap, las partidas siempre terminan después de seis turnos y en cada turno las y los jugadores tiene una cantidad de energía igual al número de turno para jugar cartas. Es decir, en el turno uno, se tiene uno de energía, en el turno dos se tienen dos de energía y así sucesivamente. Claro, como en todo juego de cartas hay excepciones, pero este es el referente.

Bruce Banner cuesta dos de energía, así que lo más pronto que puedes jugarlo normalmente es el turno dos, en el que tienes dos de energía. Por lo tanto, tienes cuatro turnos, del tres al seis, en los que se puede transformar en Hulk. La probabilidad de que esto ocurra siempre es 0.25, así que, por complemento, tenemos una probabilidad de que Banner no se transforme. Además, esta probabilidad es independiente en cada turno, si en uno no se transforma, no aumenta o disminuye la probabilidad de transformarse o no.

¿Cuál es la probabilidad de que Banner se transforme en uno de dos turnos?

Como sabemos que tenemos una probabilidad de .75 que no se transforme cada turno, lo más fácil que podemos hacer es calcular la probabilidad conjunta de que no se transforme en dos turnos, y como cada turno es un evento independiente, entonces tenemos lo siguiente:

(p de no transformarse turno 1)(p de no transformarse turno 2)=p conjunta de no transformarse

Entonces:

(.75)(.75)=0.5625 

Es decir, ~56% de probabilidad que Banner no se transforme y, por lo tanto, ~44% de que sí lo haga (1-.5625=.4375).

Entonces para tres turnos, tenemos:

(.75)(.75)(.75)=0.4219
1-.4219=.5781

Y, ya puedes imaginar que para cuatro turnos será:

(.75)(.75)(.75)(.75)=0.3164
1-0.3164=0.6836

Una probabilidad de ~68% no está mal si logras tener a Banner en el turno dos y si tienes más turnos con Banner en juego, por efecto de Magik, Arishem o de algún otro modo, es más probable que se transforme a que no lo haga. Eso sí, dejar energía de sobra me parece que es una limitación importante.

Quizás te preguntes si es posible calcular la probabilidad de que sí ocurra la transformación a partir del 0.25 de probabilidad que tiene este resultado. Sí es posible, pero es un cálculo más latoso. Tienes que calcular la probabilidad de este resultado no ocurra más la probabilidad de que ocurra en un evento, pero no en los demás.

Para nuestro caso, en dos turnos, sería, p de que ocurra en alguno de los dos turnos:

(.25)(.25)= .0625

p de que ocurra en un turno pero no en los demás (número de turnos=2):

(2)(.25)(.75)=.3750

Sumamos ambos valores y lo restamos a 1:

1-(.0625+.375)=.5625

Podemos hacer esto para más eventos, aunque, definitivamente me parece más sencillo el primer método.